Resumo: Buracos negros são objetos astrofísicos que costumam povoar histórias de ficção científica, mas para cuja existência em nosso universo temos hoje amplas evidências empíricas. Essas fascinantes entidades tipicamente surgem como resultado do chamado “colapso gravitacional” de estrelas muito maciças, para a qual há uma elegante descrição geométrica devida a Roger Penrose. Nesta palestra, após uma breve introdução à modelagem geométrica dos buracos negros, discutiremos dois teoremas clássicos na área, o primeiro devido ao próprio Penrose em 1965, e que lhe valeu o prêmio Nobel de 2020, e outro devido a Dennis Gannon de 1976. Esses “teoremas de singularidade” fornecem versões matematicamente precisas do colapso gravitacional, mas sua relação exata com os buracos negros não é clara ainda hoje. Se o tempo permitir, discutirei brevemente uma conjectura aberta de Penrose, a chamada conjectura de censura cósmica, que pretende formalizar a ideia de que colapsos gravitacionais de fato devem sempre estar acompanhados de buracos negros em nosso universo.
Infeasibility and error bound imply finite convergence of alternating projections
Abstract: In this work we combine two ingredients in order to get a rather
surprising result on one of the most studied, elegant, and powerful
tools for solving convex feasibility problems, the method of alternating
projections (MAP). Going back to names such as Kaczmarz and von Neumann,
MAP has the ability to track a pair of points realizing minimum distance
between two given closed convex sets. Unfortunately, MAP may suffer from
arbitrarily slow convergence, and sublinear rates are essentially only
surpassed in the presence of some Lipschitzian error bound, which is our
first ingredient. The second one is a seemingly unfavorable and
unexpected condition, namely, infeasibility. For two non-intersecting
closed convex sets satisfying an error bound, we establish finite
convergence of MAP. Moreover, the farther the target sets lie from each
other, fewer are the iterations needed by MAP for finding a best
approximation pair. Insightful examples and further theoretical and
algorithmic discussions accompany our results, including the
investigation of finite termination of other projection methods.
Resumo: Dedicando a palestra aos 65 anos de Ruy Exel, descrevemos sua trajetória científica, focando principalmente no impacto proporcionado pelas ideias e resultados dele. Entre outros, discutiremos a influência do Ruy em assuntos relacionados às ações e representações parciais que, além das aplicações e consequências de grande relevância na área de álgebras de operadores, estimulou uma pesquisa em álgebra com vários desdobramentos interessantes.
Resumo: Nesta palestra, tentaremos apresentar as representações parciais de álgebras de Hopf a partir de exemplos. A partir da motivação primordial oriunda da teoria de representações parciais de grupos, introduziremos o Hopf algebroide universal Hpar, associado a uma álgebra de Hopf H. A categoria de módulos sobre Hpar corresponde às representações parciais de H e possui uma estrutura de categoria monoidal, evidenciando uma imensa riqueza teórica, com muitos aspectos a serem explorados. Este é um trabalho em colaboração com Marcelo Muniz Silva Alves e Joost Vercruysse.
Resumo: As álgebras de Hopf surgem da década de 40 do século XX associadas a grupos: o anel de cohomologia de um grupo de Lie (devido a H. Hopf) e a álgebra de funções de representações do grupo, as álgebras de coordenadas de grupos algébricos afins, as álgebras de grupos, as envolventes universais de álgebras de Lie. Resultados de teoria de grupos (e de teoria de Lie) costumam inspirar pesquisas na linha de álgebras de Hopf, e esse foi o caso com relação às teorias de ações e representações parciais de grupos desenvolvidas por Exel, Dokuchaev, Paques e outros. Nesta palestra apresentaremos as representações parciais de álgebras de Hopf e os algebroides de Hopf associados. Em especial, abordaremos dois exemplos concretos de algebroides de Hopf construídos a partir dos primeiros termos de uma família de álgebras de Hopf. Resultados obtidos com Eliezer Batista, Joost Vercruysse e Arthur Rezende Alves Neto.
